Erwartungswert, Varianzen

[firingice]

okay trotzdem danke für deine mühe , also ich schreibe gerade ne facharbeit über die mathematischen Aspekte des Poker und by the way würde mich freuen wenn einer sich mein bisheriges ergebins durchlesen würde und kritik üben würde^^.. Außerdem überlege ich als Zusatzleistung ein Interview mit einem (halbwegs) erfahrenen Pokerspieler über die Bedeutung der Mathematik beim Poker. Wer Lust hat, sich dafür bereitzustellen oder meine facharbeit probe zu lesen pn an mich ;DDD

[ffz100]

@firingice: Ich möchte hier wirklich nicht den Oberlehrer spielen, aber ich glaube, daß du nicht verstanden hast, was Varianz (oder Standardabweichung, die Wurzel der Varianz) bedeutet. Du hast recht wenn du sagst, daß eine große Varianz eine größere Streuung um den Erwartungswert bedeutet. Im Zusammenhang mit einer Wette während einer Pokerrunde ist das Konzept aber nicht sinnvoll. Bei Erwartungswert und Varianz handelt es sich nämlich um Begriffe aus der Statistik. Man geht dabei davon aus, daß man eine gewisse Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben hat und Stichproben einer gewissen Größe aus einer Grundgesamtheit von Ergebnissen nimmt. Wenn man die Anzahl der Stichproben gegen unendlich gehen läßt und aus deren Mittelwerten eine neue Wahrscheinlichkeitsverteilung bildet, konvergiert die resultierende Verteilung gegen die sogenannte Gaußsche Normalverteilung (eine Glockenkurve), deren Mittelpunkt beim Erwartungswert liegt und deren Breite durch die Varianz gegeben ist. Die Varianz gibt dir damit eine Information darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Mittelwert einer gegebenen Stichprobe innerhalb eines bestimmten Intervalls um den Erwartungswert liegt. Man kann diese Werte beim Roulette nur deswegen ausrechnen, weil Roulette ein triviales Spiel ist. Beim Roulette gibt es keine Strategie, keinen Gegner und keine versteckten Informationen. Deswegen kann man für jede Wette genau den Erwartungswert und die Varianz bzw. Standardabweichung berechnen (und wenn man das tut, sieht man, warum man niemals Roulette spielen sollte). Eine entsprechende Rechnung für realistische Pokervarianten ist NICHT möglich, weil Poker äußerst komplex ist und im Gegensatz zum Roulette ein Spiel voller Entscheidungen und unbekannter Informationen ist. Sinnvoll ist eine Berechnung von Erwartungswert und Varianz dagegen z.B. bei der nachträglichen Handanalyse, wenn du eine große Datenbank mit Händen hast, die du in der Vergangenheit gespielt hast...

[firingice]

@ffz100: Kann schon sein dass man das mit der Varianz nicht aufs Pokerspiel anwenden kann,aber beim Erwartungswert bin ich anderer Meinung als du.
Mit den odds und pot odds wird vereinfacht errechnet ob call einen positiven oder negativen Erwartungswert hat, trotz der unbekannten Informationen, die gegeben sind. Wenn man z.B. bei einem Flush Draw 20 $ in einen 200$ Pot schieben muss hat man einen positiven Erwartungswert, da man jedes fünfte Mal das 10 fache gewinnt. Dabei wird auch vernachlässigt, dass die verbleibenden Spieler die Outs die man rechnet als Hole cards haben.

[ffz100]

@ffz100: Kann schon sein dass man das mit der Varianz nicht aufs Pokerspiel anwenden kann,aber beim Erwartungswert bin ich anderer Meinung als du.
Mit den odds und pot odds wird vereinfacht errechnet ob call einen positiven oder negativen Erwartungswert hat, trotz der unbekannten Informationen, die gegeben sind. Wenn man z.B. bei einem Flush Draw 20 $ in einen 200$ Pot schieben muss hat man einen positiven Erwartungswert, da man jedes fünfte Mal das 10 fache gewinnt. Dabei wird auch vernachlässigt, dass die verbleibenden Spieler die Outs die man rechnet als Hole cards haben.

Okay, du hast natürlich recht, daß der Erwartungswert beim Pokern eine große Rolle spielt. Daß er das nicht tut, wollte ich auch nicht sagen, das war vielleicht nicht ganz glücklich formuliert von mir. Das Ziel JEDER Entscheidung beim Poker ist es, den maximalen Erwartungswert zu erreichen. Somit ist der Erwartungswert eigentlich DAS zentrale Konzept beim Pokern. Was ich sagen will, ist daß man den Erwartungswert aber nicht berechnen kann - in dem Sinne, daß man einfach eine Zahl erhält. Man kann als Pokerspieler nur abwägen, welche der möglichen Entscheidungen wohl den größten Erwartungswert hat. Auch kann man sagen, daß z.B. Bluffs, Preflop-raises mit einer schwachen Hand, das Spielen vieler Hände und ähnliches Aktionen mit hoher Varianz sind. Dabei bleiben diese Begriffe aber qualitativ im Gegensatz zu quantitativ.
Es ist auch wichtig, konzeptionell den Unterschied zwischen Pot-Odds-Rechnungen und dem Erwartungswert zu beachten. In dem Beispiel, das du gegeben hast, berechnest du mit den Outs und Odds NICHT, ob du einen positiven oder negativen Erwartungswert hast, sondern zunächst nur die Wahrscheinlichkeit, einen Straight oder Flush zu machen im Vergleich zu den Pot Odds. Der Zusammenhang mit dem Erwartungswert besteht darin, daß du davon ausgehst, mit einem Straight oder Flush die beste Hand zu haben und damit den Pot zu gewinnen. In dem Sinne hat das Ergebnis, einen Flush zu machen, einen positiven Erwartungswert, wenn die Pot Odds stimmen. Den Unterschied kannst du auch schon daran sehen, daß Wahrscheinlichkeiten dimensionslos sind, während Erwartungswerte die Dimension $ bzw. € oder Chips haben. Pot Odds sind also eine indirekte Methode, Erwartungswerte abzuschätzen. Gerade beim No Limit Hold'em mit den äußerst wichtigen Implied Odds kann dir eine solche Rechnung aber keine sichere Aussage über deinen Erwartungswert machen - da spielen noch viele weitere Faktoren eine Rolle.
Okay, ich hoffe, damit sind alle Klarheiten beseitigt ;-) Wenn du möchtest, kann ich mir deine Facharbeit mal durchlesen. Ich habe aber frühestens am Wochenende Zeit...

Edit: Hier ist noch ein Beispiel, um den Unterschied zwischen Pot Odds und dem Erwartungswert zu verdeutlichen. Nehmen wir an, daß du AQs auf der Hand hast. Ein Spieler erhöht vor dem Flop, alle folden, du callst. Der Flop kommt J88 mit einem Flush Draw für dich. Dein Gegner setzt 10% vom Pot. Wenn du nur nach Pot Odds gehst, ist das mindestens einen Call wert, weil du denkst, daß du einen positiven Erwartungswert hast. Wenn dein Gegner aber 88 hält, ist deine Hand tot, und wenn du X$ setzt, ist der Erwartungswert dafür in Wirklichkeit -X$ - du wirst alles verlieren, was du setzt. Du solltest daher folden, weil das einen Erwartungswert von 0$ > -X$ hat. Da einem solche Informationen aber oft fehlen, kann es sein, daß man den Erwartungswert durch die Pot Odds völlig falsch einschätzt.

[Greko]

Edit: Hier ist noch ein Beispiel, um den Unterschied zwischen Pot Odds und dem Erwartungswert zu verdeutlichen. Nehmen wir an, daß du AQs auf der Hand hast. Ein Spieler erhöht vor dem Flop, alle folden, du callst. Der Flop kommt J88 mit einem Flush Draw für dich. Dein Gegner setzt 10% vom Pot. Wenn du nur nach Pot Odds gehst, ist das mindestens einen Call wert, weil du denkst, daß du einen positiven Erwartungswert hast. Wenn dein Gegner aber 88 hält, ist deine Hand tot, und wenn du X$ setzt, ist der Erwartungswert dafür in Wirklichkeit -X$ - du wirst alles verlieren, was du setzt. Du solltest daher folden, weil das einen Erwartungswert von 0$ > -X$ hat. Da einem solche Informationen aber oft fehlen, kann es sein, daß man den Erwartungswert durch die Pot Odds völlig falsch einschätzt.

Schönes Beispiel! Aber du kannst dann doch trotzdem einen Erwartungswert für deinen Call bilden, wenn du die Wahrscheinlichkeit quantifizieren kannst mit der dein Gegner 88 hält:

Einfachste Näherung wäre wenn du annimmst, dass jede Hand deines Gegners die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, dann wäre P(88) = 2/47 * 1/46 (2 Achten im Deck mit 52-2-3 = 47 Karten), was natürlich extrem gering ist. In Wirklichkeit wird die Wahrscheinlichkeit höher liegen, da Schrotthände wie 27, 37 etc. eine weitaus niedrigere Wahrscheinlichkeit haben, da dein Gegner sie kaum spielen wird.

Aber egal, angenommen du sagst "die Wahrscheinlichkeit dass mein Gegner 88 hält beträgt x %", dann kannst du ja den Erwartungswert deines Calls bilden, denn:

- in x % der Fälle hält der Gegner 88 => du verlierst Betrag z1
- von den restlichen 1-x % der Fälle ziehst du in y % deinen Flush und gewinnst z2
- von den restlichen 1-x % der Fälle ziehst du in 1-y % keinen Flush und verlierst z1

Das gibt dir dann einen Erwartungswert für deinen Call und wenn der > 0 ist, dann ist der Call gerechtfertigt! Problem bei der Sache ist natürlich, die Wahrscheinlichkeit einigermaßen vorherzusagen, dass dein Gegner diese oder jene Hand hält (bei 88 und dem obigen Flop ist sie trivialierweise sehr gering!).

Ähnlich macht es auch Sklansky in seinem "Theory Of Poker"-Buch, wenn er den Erwartungswert bestimmter Calls untersucht: Dort quantifiziert er auch z.B. die Wahrscheinlichkeit dass der Gegner nur blufft oder eine bestimmmte Gruppe von Händen hält und macht dann für jede Art von Spielausgang eine Gewinn-Verlust-Rechung auf => gewichtet nach den jeweiligen (z.T. geschätzten !) Wahrscheinlichkeiten dieser Spielausgänge erhältst du dann einen Erwartungswert. Hier ist natürlich praktisch gesehen auch wieder die Schwierigkeit, die genannten Wahrscheinlichkeitswerte möglichst genau zu schätzen. Ist die Wahrschenilichkeit dass dein Gegner blufft nun 5%, 10%, 15%? Das ist natürlich sehr schwierig zu bestimmen für die konkrete Situation, beeinflusst aber den Erwartungswert enorm. Aber angenommen du bildest eine Schätzung mit soundsoviel Prozent, dann kannst du den EW durchaus näherungsweise berechnen (natürlich nur in der Theorie, in der Praxis wird das zu kompliziert und dauert zu lange).